建筑长城杯:裂项法是什么
来源:百度文库 编辑:杭州交通信息网 时间:2024/10/02 18:12:06
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 通项分解(裂项)倍数的关系。
【中文名】:裂项法
【内 容】:将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的
【公式1】:1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]
【公式2】:1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
裂项法(一)
同学们知道:在计算分数加减法时,两个分母不同的分数相加减,要先通分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考
例如 ,这里分母3、4是相邻的两个自然数,公分母正好是它们的乘积,把这个例题推广
到一般情况,就有一个很有用的等式:
即
或
下面利用这个等式,巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】
例1. 计算:
分析与解答:
上面12个式子的右面相加时,很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这一来问题解起来
就十分方便了。
像这样在计算分数的加、减时,先将其中的一些分数做适当的拆分,使得其中一部分分数可以相互
抵消,从而使计算简化的方法,我们称为裂项法。
例2. 计算:
公式的变式
当 分别取1,2,3,……,100时,就有
例3. 设符号( )、< >代表不同的自然数,问算式 中这两个符号所代表的数
的数的积是多少?
分析与解:减法是加法的逆运算, 就变成 ,与前面提到的等式
相联系,便可找到一组解,即
另外一种方法
设 都是自然数,且 ,当 时,利用上面的变加为减的想法,得算式
。
这里 是个单位分数,所以一定大于零,假定,则,代入上式得
,即 。
又因为 是自然数,所以一定能整除,即是的约数,有个就有个,这一来我们便得
到一个比更广泛的等式,即当,,是的约数时,一定有
,即
上面指出当,,是的约数时,一定有,这里,36共有1
,2,3,4,6,9,12,18,36九个约数。
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
故( )和< >所代表的两数和分别为49,32,27,25。
【模拟试题】
二.尝试体验:
1. 计算:
2. 计算:
3. 已知 是互不相等的自然数,当 时,求 。
【试题答案】
1. 计算:
2. 计算:
3. 已知 是互不相等的自然数,当 时,求 。
的值为:75,81,96,121,147,200,361。
因为18的约数有1,2,3,6,9,18,共6个,所以有
还有别的解法。
1/n(n+1)=(1/n)-[1/(n+1)]
1/n(n+m)=(1/m){(1/n)-[1/(n+m)]}